Question

六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（l）甲不站兩端；
（2）甲、乙必須相鄰；
（3）甲、乙不相鄰；
（4）甲、乙之間間隔兩人；
（5）甲不站左端，乙不站右端．

Answer 1

分析：（l）現在中間的4個位中選一個，排上甲，方法有4種；其余的人任意排，方法有

A

5 5

種，再根據分步計數原理求得結果．
（2）把甲乙看成一個整體，這樣6個人變成了5個人，全排列共有

A

2 2

•

A

5 5

種站法．
（3）先把其余的4個人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5個空中，方法共有

A

4 4

•

A

2 5

（種））．
（4）先把甲乙排好，有

A

2 2

種方法，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，方法有

A

2 4

種．把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，方法有

A

3 3

種．根據分步計數原理，求得結果．
（5）當甲在中間時，先排甲，有4種方法，再排乙，有4種方法，最后，其余的人任意排，有

A

4 4

種方法，根據分步計數原理，方法共有4×4×

A

4 4

=384種．當甲在右端時，其余的5個人任意排，共有

A

5 5

=120種排法．相加即得所求．

解答：解：（l）現在中間的4個位中選一個，排上甲，方法有4種；其余的人任意排，方法有

A

5 5

種，故共有

A

1 4

•

A

5 5

=480 （種）．
（2）把甲乙看成一個整體，這樣6個人變成了5個人，全排列共有

A

2 2

•

A

5 5

=240 （種）站法．
（3）先把甲乙二人單獨挑出來，把其余的4個人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5個空中，
方法共有

A

4 4

•

A

2 5

=480 （種））．
（4）先把甲乙排好，有

A

2 2

種方法，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，方法有

A

2 4

種．
把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，方法有

A

3 3

種．
根據分步計數原理，求得甲、乙之間間隔兩人的排法共有

A

2 2

•

A

2 4

•

A

3 3

=144種．
（5）當甲在中間時，先排甲，有4種方法，再排乙，有4種方法，最后，其余的人任意排，有

A

4 4

種方法，
根據分步計數原理，方法共有4×4×

A

4 4

=384種．
當甲在右端時，其余的5個人任意排，共有

A

5 5

=120種排法．
故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504種．

點評：本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優先排，特殊位置要優先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現了分類討論的數學思想，是一個中檔題目．