Question

已知圓和點（1）若過點有且只有一條直線與圓相切，求正實數的值，并求出切線方程；（2）若，過點的圓的兩條弦互相垂直，設分別為圓心到弦的距離．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求兩弦長之積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）3（Ⅱ）10

試題分析：本題第（1）問，本題考查的是圓的切線方程，即直線與圓方程的應用．（要求過點M的切線l的斜率，關鍵是求出切點坐標，由M點也在圓上，故滿足圓的方程，則易求M點坐標，然后代入圓的切線方程，整理即可得到答案；
第（2）問，由基本不等式可求出兩弦長之積的最大值．
解：（１）
得

∴切線方程為即
（Ⅰ）當都不過圓心時，
設于，則為矩形，

當中有一條過圓心時，上式也成立
（Ⅱ）
∴

（當且僅當時等號成立）
點評：本題考查直線和圓的方程的應用，著重考查分類討論思想與轉化思想.