Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣alnx+ ．
（1）若a=1，求f（x）在x∈[1，3]的最值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ，x∈[1，3]．

，

令f'（x）=0，x1=2，x2=﹣1（舍）．

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）	﹣2	為負	0	為正
f（x）	3	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數f（x）的最小值為f（2）=2﹣ln2，函數f（x）的最大值為f（1）=3．

（2）解： ，令f'（x）=0，x1=﹣1，x2=1+a．

由于函數f（x）的定義域為（0，+∞），

當1+a≤0時，f'（x）＞0，

當1+a＞0時，0＜x＜1+a有f'（x）＜0，x＞1+a有f'（x）＞0．

所以，當a≤﹣1時，函數f（x）的遞增區間是（0，+∞）；

當a＞﹣1時，函數f（x）的遞減區間是（0，1+a）；遞增區間是[1+a，+∞）．

（3）解：當1+a≤1時，即a≤0時，函數f（x）在[1，e]上單調遞增，f（1）＜0解得a＜﹣2；

當1+a≥e時，即a≥e﹣1時，函數f（x）在[1，e]上單調遞減，f（e）＜0解得 ；

當1＜1+a＜e時，即0＜a＜e﹣1時，函數f（x）在[1，1+a]上單調遞減，[1+a，e]上單調遞增，

∴f（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＜0，由于0＜ln（1+a）＜1，

所以a＞aln（1+a），因此2+a﹣aln（1+a）＞2，不等式f（1+a）＜0無解．

綜上所述，a＜﹣2或

【解析】（1）代入a值，利用導函數直接判斷；（2）求導，在定義域內對a進行分類討論；（3）使得f（x0）＜0成立，只需求出區間內的最小值即可，對a進行分類討論，求出函數的最小值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．