Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和，對任意，都有（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時，求；

（2）當(dāng)時，

（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，求數(shù)列的通項公式．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) （ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）利用項和公式求出是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，再求.(2) （ⅰ）證明即證數(shù)列是等差數(shù)列. （ⅱ）先求得，所以或，再求，再檢驗(yàn)即得數(shù)列的通項公式.

（1）當(dāng)，，時，．①

當(dāng)時，，所以．

當(dāng)時，．②

①－②得：．因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以．

（2）（ⅰ）當(dāng)，，時，．③

當(dāng)時，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因?yàn)?/span>，所以 即，

所以是等差數(shù)列．

（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，所以．

因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，

所以，所以或．

當(dāng)時，，，，

所以 不符合題意．

當(dāng)時，，，

所以滿足題意．

所以．