Question

【題目】設函數，其中．

（Ⅰ）已知函數為偶函數，求的值；

（Ⅱ）若，證明：當時，；

（Ⅲ）若在區間內有兩個不同的零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）利用偶函數的定義，化簡后可得實數的值；

（Ⅱ）利用導數分析函數在上的單調性，進而可證得；

（Ⅲ）令得，令，利用導數分析函數在區間上的單調性與極值，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍.

（Ⅰ）函數為偶函數，所以，即，

整理得對任意的恒成立，；

（Ⅱ）當時，，則，

，則，，，

所以，函數在上單調遞增，

當時，；

（Ⅲ）由，得，設函數，，

則，令，得．

隨著變化，與的變化情況如下表所示：

		極大值

所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減．

又因為，，，且，如下圖所示：

所以，當時，方程在區間內有兩個不同解，

因此，所求實數的取值范圍為．