Question

已知任意非零實(shí)數(shù)x，y滿足3x²+4xy≤λ（x²+y²）恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把不等式3x²+4xy≤λ（x²+y²）化為λ≥

3x2+4xy

x2+y2

，分子分母同時(shí)除以y后換元，然后利用判別式法求最值得答案．

解答： 解：∵x、y都不為0，
由3x²+4xy≤λ（x²+y²），得：
λ≥

3x2+4xy

x2+y2

，
設(shè)t=

x

y

，則M=

3x2+4xy

x2+y2

=

3t2+4t

1+t2

．
即（3-M）t²+4t-M=0，
當(dāng)M=3時(shí)，t=

3

4

；
當(dāng)M≠3時(shí)，由△=4²+4M（3-M）=-4M²+12M+16≥0，
解得-1≤M≤4．
∴M的最大值為4．
則：λ≥4．
即λ的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了換元法，訓(xùn)練了利用判別式法求最值，是中檔題．