Question

已知直角的三邊長，滿足
（1）在之間插入2011個數，使這2013個數構成以為首項的等差數列，且它們的和為，求的最小值；
（2）已知均為正整數，且成等差數列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值；
（3）已知成等比數列，若數列滿足，證明：數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形，且是正整數.

Answer 1

（1）最小值為； （2） 2、3、4.
（3）證明：由成等比數列，.
由于為直角三角形的三邊長，證明數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形. 證得，
故對于任意的都有是正整數.

試題分析：（1）是等差數列，∴，即. 2分
所以，的最小值為； 4分
（2） 設的公差為，則 5分
設三角形的三邊長為，面積，，
. 7分
由得，
當時，，
經檢驗當時，，當時， 9分
綜上所述，滿足不等式的所有的值為2、3、4. 10分
（3）證明：因為成等比數列，.
由于為直角三角形的三邊長，知，， 11分
又，得，
于是
.… 12分
，則有.
故數列中的任意連續三項為邊長均可以構成直角三角形. 14分
因為 ，

， 15分
由，同理可得，
故對于任意的都有是正整數. 16分
點評：難題，本題綜合性較強，涉及等差數列、等比數列、不等式及構成直角三角形的條件。對法則是自點變形能力要求高，易出錯。