Question

已知n條直線：l₁：x-y+C₁=0，C₁=且l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0，其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n，這n條平行直線中，每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積．

Answer 1

解：（1）由已知條件可得l₁：x-y+=0，則原點O到l₁的距離d₁=1，
由平行直線間的距離可得原點O到l_n的距離d_n為：1+2++n=，
∵C_n=d_n，∴C_n=．
（2）設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點M，交y軸于點N，則△OMN的面積
S_△OMN=|OM|•|ON|=（C_n）²=．
分析：（1）原點O到l₁的距離d₁=1，由點到直線的距離公式求出O到l_n的距離：d_n =1+2++n，據C_n=d_n ，可求C_{n 的值}．
（2）由這組平行線的斜率等于1知，圍成的圖形是個等腰直角三角形，設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點M，交y軸于點N，
S_△OMN=|OM|•|ON|=（C_n）²，把C_n 的值代入可求得結果．
點評：本題考查平行線間的距離公式及點到直線的距離公式的應用，直線方程的應用，體現了轉化的數學思想．