Question

已知n條直線：l₁:x-y+C₁=0,C₁=,l₂:x-y+C₂=0,l₃:x-y+C₃=0…l_n:x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n）這n條平行直線中，每相鄰兩條直線之間的距離順次為2，3，4，…，n.

(1)求C_n；

(2)求x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成圖形的面積；

(3)求x-y+C_n-1=0與x-y+C_n=0及x軸、y軸圍成圖形的面積.

Answer 1

解析：(1)如圖所示，l₁、l₂、…、l_n是一組平行線.

原點O到l₁ 的距離為1，

原點O到l₂的距離為1+2，

……

原點O到l_n的距離d_n為1+2+…+n=.

∵C_n=…dn,∴C_n=.

(2)設直線l_n:x-y+C_n=0交x軸于M，交y軸于N，則△OMN的面積.

S_△OMN=|OM|·|ON|=（C_n）²=n²(n+1)².

(3)所圍成的圖形是等腰梯形.

由（2）知S_n=n²(n+1)²,則有

S_n-1= (n-1)²n²，

S_n-S_n-1=(n+1)²-(n-1)²=n³.

所求面積為n³.