Question

已知n條直線：l₁：x-y+C₁=0，C₁=

2

且l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0，其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n，這n條平行直線中，每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，…，n．
（1）求C_n；
（2）求x-y+C_n=0與x軸、y軸圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）原點O到l₁的距離d₁=1，由點到直線的距離公式求出O到l_n的距離：d_n =1+2++n，據C_n=

2

d_n ，可求C_{n 的值}．
（2）由這組平行線的斜率等于1知，圍成的圖形是個等腰直角三角形，設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點M，交y軸于點N，
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²，把C_n 的值代入可求得結果．

解答：解：（1）由已知條件可得l₁：x-y+

2

=0，則原點O到l₁的距離d₁=1，
由平行直線間的距離可得原點O到l_n的距離d_n為：1+2++n=

n(n+1)

2

，
∵C_n=

2

d_n，∴C_n=

2 •n(n+1)

2

．
（2）設直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點M，交y軸于點N，則△OMN的面積
S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²=

n2(n+1)2

4

．

點評：本題考查平行線間的距離公式及點到直線的距離公式的應用，直線方程的應用，體現了轉化的數學思想．