Question

已知函數.
（Ⅰ）若不等式的解集為，求實數的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對一切實數恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）a＝2; （Ⅱ）(－∞，5].

解析試題分析：（Ⅰ）根據可得|x－a|≤3，即a－3≤x≤a＋3，再由的解集為可得，即可求得a＝2；（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，求得g(x)的最小值為5，再根據對一切實數恒成立可知 =5.
試題解析：（Ⅰ）由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，∴解得a＝2.
（Ⅱ）（解法一）當a＝2時，f(x)＝|x－2|.
設g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以當x＜－3時，g(x)＞5；當－3≤x≤2時，g(x)＝5；當x＞2時，g(x)＞5.
綜上可得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為(－∞，5]．
考點：1.絕對值不等式的解法；2.絕對值函數；3.不等式恒成立問題.