Question

已知命題p：方程

x2

2m

-

y2

m-1

=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：雙曲線

y2

5

-

x2

m

=1的離心率e∈（1，2），若p、q有且只有一個為真，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意求出命題p、q為真時m的范圍分別為0＜m＜

1

3

、0＜m＜15．由p、q有且只有一個為真得p真q假，或p假q真，進而求出答案即可．

解答：解：將方程

x2

2m

-

y2

m-1

=1改寫為

x2

2m

+

y2

1-m

=1，
只有當1-m＞2m＞0，即0＜m＜

1

3

時，方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，所以命題p等價于0＜m＜

1

3

；（4分）
因為雙曲線

y2

5

-

x2

m

=1的離心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1＜

5+m

5

＜4，解得0＜m＜15，
所以命題q等價于0＜m＜15；…（8分）
若p真q假，則m∈∅；
若p假q真，則

1

3

≤m＜15
綜上：m的取值范圍為

1

3

≤m＜15…（12分）

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、橢圓的標準方程、雙曲線的簡單性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．