Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2sin²（

A+B

2

）+cos2C=1，a=1，b=2．
（1）求∠C和邊c；
（2）若

BM

=4

BC

，

BN

=

3

BA

，且點P為△BMN內切圓上一點，求|

PA

|²+|

PB

|²+|

PC

|²的最值．

Answer 1

考點：余弦定理,二倍角的正弦

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理求出cosC的值，即可確定出C的度數；由余弦定理求出c的值即可；
（2）建立坐標系，表示出A，B，C的坐標，由

BM

=4

BC

，

BN

=

3

BA

，確定出M與N坐標，進而確定出△BMN的內切圓方程，設P（x，y），令

x=1+cosθ y=1+sinθ

，θ∈[0，2π），利用兩點間的距離公式化簡原式，把表示出的x與y代入，利用正弦函數的值域確定出最大值即可．

解答： 解：（1）∵2sin²

A+B

2

+cos2C=1，
∴cos2C=1-2sin²

A+B

2

=cos（A+B）=-cosC，
∴2cos²C+cosC-1=0，
∴cosC=

1

2

或cosC=-1，
∵C∈（0，π），
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=1+4-2=3，即c=

3

；
（2）建立坐標系，由（1）A（

3

，0），B（0，0），C（0，1），
由

BM

=4

BC

，

BN

=

3

BA

，知M（0，4），N（3，0），△BMN的內切圓方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
設P（x，y），則令

x=1+cosθ y=1+sinθ

，θ∈[0，2π），
則|

PA

|²+|

PB

|²+|

PC

|²=（x-

3

）²+y²+x²+y²+x²+（y-1）²
=3x²+3y²-2

3

x-2y+4
=11-2

3

+4sinθ+（6-2

3

）cosθ
=11-2

3

+

64-24 3

sin（θ+α）≤11-2

3

+

64-24 3

．

點評：此題考查了余弦定理，以及正弦函數的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．