Question

已知O，A，B是平面上不共線三點(diǎn)，設(shè)P為線段AB垂直平分線上任意一點(diǎn)，若|

OA

|=7，|

OB

|=5，則

OP

•(

OA

-

OB

)的值為

12

．

Answer 1

分析：設(shè)M是AB的中點(diǎn)，將向量

OP

表示成

OM

+

MP

，而

OA

-

OB

=

BA

，從而

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

+

MP

•

BA

，再結(jié)合P為線段AB垂直平分線上任意一點(diǎn)，得

MP

•

BA

=0，轉(zhuǎn)化為求數(shù)量積

OM

•

BA

，再用

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，

OA

-

OB

=

BA

代入，得

OP

•(

OA

-

OB

)=

1

2

(|

OA

| 2-|

OB

| 2)，結(jié)合已知條件的數(shù)據(jù)，不難得出這個(gè)數(shù)量積．

解答：解：根據(jù)題意，設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，得

OP

=

OM

+

MP

，

OA

-

OB

=

BA

∴

OP

•(

OA

-

OB

)=(

OM

+

MP

)•

BA

=

OM

•

BA

+

MP

•

BA

∵

MP

與

BA

互相垂直
∴

MP

•

BA

=0
因此

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

又∵△OAB中，OM是AB邊上的中線
∴

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)
∴

OM

•

BA

=

1

2

(

OA

+

OB

) •

BA

=

1

2

(

OA

+

OB

)(

OA

-

OB

)
即

OM

•

BA

=

1

2

(|

OA

| 2-|

OB

| 2)
∵|

OA

|=7，|

OB

|=5，
∴

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

=

1

2

(72-52)=12
故答案為：12

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，著重考查了數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．