Question

3．某區選派7名隊員代表本區參加全市青少年圍棋錦標賽，其中3名來自A學校且1名為女棋手，另外4名來自B學校且2名為女棋手．從這7名隊員中隨機選派4名隊員參加第一階段的比賽．
（1）求在參加第一階段比賽的隊員中，恰有1名女棋手的概率；
（2）設X為選出的4名隊員中A、B兩校人數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；
（Ⅱ）求出隨機變量X的所有可能取值，求出相應的概率，得到X的分布列，然后求解數學期望．

解答 解：（ I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手，
設事件A=“恰有1位女棋手”，則$P（A）=\frac{C_3^1C_4^3}{C_7^4}=\frac{12}{35}$，…（4分）
所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為$\frac{12}{35}$．…（5分）
（ II）隨機變量X的所有可能取值為0，2，4．其中$P（{X=0}）=\frac{C_3^2C_4^2}{C_7^4}=\frac{18}{35}$，$P（{X=2}）=\frac{C_3^1C_4^3+C_3^3C_4^1}{C_7^4}=\frac{16}{35}$，$P（{X=4}）=\frac{C_3^0C_4^4}{C_7^4}=\frac{1}{35}$．…（9分）
所以，隨機變量X分布列為

X	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

隨機變量X的數學期望$E（X）=0×\frac{18}{35}+2×\frac{16}{35}+4×\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$．…（13分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．