Question

一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球,已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是.
(1)若袋中共有10個球,
①求白球的個數(shù);
②從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.
(2)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于,并指出袋中哪種顏色的球的個數(shù)最少.

Answer 1

(1) ①5 ②X的分布列為:

X	0	1	2	3
P

(2)見解析

(1)①記“從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球”為事件A,設(shè)袋中白球的個數(shù)為x,則
P(A)=1-=,得x=5或x=14(舍去).故白球有5個.
②隨機變量X的取值為0,1,2,3,
P(X=0)==;P(X=1)==;
P(X=2)==;P(X=3)==.
故X的分布列為:

X	0	1	2	3
P

(2)設(shè)袋中有n個球,其中有y個黑球,
由題意得y=n,所以2y<n,2y≤n-1,故≤.
記“從袋中任意摸出2個球,至少有1個黑球”為事件B,
則P(B)=
=·+·+·
=+×≤+×=.
所以白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于n,紅球的個數(shù)少于,故袋中紅球個數(shù)最少.
【方法技巧】隨機變量分布列的求法
(1)搞清隨機變量每個取值對應的隨機事件,思考目標事件如何用基本事件來表示,求出隨機變量所有可能的值.
(2)利用對立事件和互斥事件求出取每一個值時的概率,計算必須準確無誤.
(3)注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求概率,確保正確后列出分布列.