Question

9．已知x，y，z為正實數(shù)，則$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式可得x²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$xy，z²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$yz，問題得以解決．

解答 解：x²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$xy，z²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$yz，
∴x²+y²+z²≥$\sqrt{2}$xy+$\sqrt{2}$yz=$\sqrt{2}$（xy+yz），
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y時取等號，
故$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B

點評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題