Question

經過M（2，1）作直線L交雙曲線于A、B兩點，且M為AB的中點，
（1）求直線L的方程；       
（2）求線段AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，由，得，所以，由此能求出直線L的方程．
（2）把y=4x-7代入消去y得14x²-56x+51=0，所以，由此能求出求線段AB的長．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M（2，1）為AB的中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線，
得，
二者相減，得，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=2代入，得4（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，
所以
∴直線L的方程為y=4x-7
（2）把y=4x-7代入，
消去y得14x²-56x+51=0，
∴，k=4，
∴|AB|=
==．
從而得．
點評：本題考查直線和雙曲線的位置關系的綜合運用，考查中點弦方程的求法和弦長公式的應用．解題時要認真審題，注意點差法的靈活運用．