Question

已知圓，是直線上的動點，、與圓相切，切點分別為點、．

（1）若點的坐標為，求切線、的方程；

（2）若點的坐標為，求直線的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）在求直線方程時，應先選擇恰當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直的直線或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；（2）根據圓的圓心坐標和半徑求圓的標準方程,直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑；（3）判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，用幾何法；若方程中含參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法.

試題解析：【解析】
（1）由題意可知當點的坐標為（0，0）時，切線的斜率存在，可設切線方程為.

則圓心到切線的距離，即，，3分

∴切線、的方程為. 5分

（2）設切線、的切點為.

∵，則切線的斜率為， 6分

則切線的方程為. 7分

化簡為，即

∵點在圓上，得8分

又∵在切線上，∴①9分

同理得②10分

由①②可知直線過點

∴直線的方程為12分

特別當時，或

當時切線的方程為，解得，得切點

此時的方程為上式也成立

當時得經檢驗方程也成立

綜上所述直線的方程為.14分

考點：（1）求切線方程；（2）點到直線的距離公式的應用；（3）直線方程的應用.