已知
為橢圓
上的三個點，
為坐標原點.
（1）若
所在的直線方程為
，求
的長；
（2）設
為線段
上一點，且
，當中點恰為點時，判斷
的面積是否為常數，并說明理由.
（1）
;（2）定值為
解析試題分析：（1）因為求所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長.一般是通過聯立兩方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據兩點的距離公式求出弦長.
（2）直線與圓的位置關系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當斜率存在時，通過聯立方程，應用韋達定理知識，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據的關系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結論.
試題解析：（1）由
得
，
解得
或
，
所以兩點的坐標為
和
所以.
（2）①若
是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則
，
因為，在線段上，所以
，求得，
所以的面積等于
.
②若B不是橢圓的左、右頂點，設
，
，
由
得
，
，
所以，的中點的坐標為
，
所以
，代入橢圓方程，化簡得
.
計算
.
因為點到的距離
所以，的面積
.
綜上，面積為常數.
考點：1.直線與橢圓的位置關系.2.弦長公式.3.點到直線的距離公式.4.向量的知識.5.整體的解題思想.6.過定點的問題.
開心蛙口算題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
,
分別是橢圓
：
的左、右焦點，過作傾斜角為
的直線交橢圓于
,
兩點, 到直線
的距離為
,連結橢圓的四個頂點得到的菱形面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左頂點
作直線
交橢圓于另一點
, 若點
是線段
垂直平分線上的一點,且滿足
,求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在原點,焦點在
軸上,以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形F1B1 F2B2是一個面積為8的正方形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P的坐標為P(－4,0), 過P點的直線L與橢圓C相交于M、N兩點,當線段MN的中點G落在正方形內(包含邊界)時,求直線L的斜率的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知△
的兩個頂點
的坐標分別是
，
，且
所在直線的斜率之積等于
．
（1）求頂點
的軌跡
的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當
時，過點
的直線
交曲線
于
兩點，設點
關于
軸的對稱點為
(
不重合)， 試問：直線
與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4
.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足
＋
＝t
(O為坐標原點)，當|
－
|＜
時，求實數t的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的頂點在坐標原點
，對稱軸為
軸，焦點為
,拋物線上一點
的橫坐標為2，且
.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點
作直線
交拋物線于
，兩點,求證:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，P是橢圓上一點，且
面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
是拋物線
上的兩個點，點
的坐標為
，直線
的斜率為k， 
為坐標原點.
（Ⅰ）若拋物線
的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且
，過
兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為
，求
的最小值.
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過點
，離心率為
.
的方程；
且斜率為
的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.