Question

13、從1，2，…，30這30個自然數中，每次取不同的三個數，使這三個數的和是3的倍數的取法有多少種？

Answer 1

分析：把所給的30個數字根據被3除的余數分類，包括余數是1的，余數是2的，和正好能夠整除的，按照三個不同的集合，取數字包括四種情況，根據分類加法原理得到結果．

解答：解：設A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…，29}，
C={3，6，9，…，30}組成三類數集，
有以下四類符合題意：
①A，B，C中各取一個數，有C₁₀¹C₁₀¹C₁₀¹種；
②僅在A中取3個數，有C₁₀³種；
③僅在B中取3個數，有C₁₀³種；
④僅在C中取3個數，有C₁₀³種．
由加法原理得共有C₁₀¹•C₁₀¹•C₁₀¹+3C₁₀³=1360種．
即共有1360個數字滿足三個數的和是3的倍數，

點評：按元素的性質分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對于某幾個數的和能被某數整除一類的問題，通常是將整數分類，凡余數相同者歸同一類．