Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊依次為a，b，c，且A，B，C依次成等差數列．
（1）若=-，b=，求a+c的值；
（2）若A＜C，求2sin²A+sin²C的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由等差數列的知識求出角B的值，再由兩向量的數量積運算求出a與c的乘積，最后根據余弦定理a+c的值．
（2）先根據二倍角公式對2sin²A+sin²C進行降冪，再將A的關系轉化為C的關系，最后根據C的范圍求出最后答案．
解答：解：（1）∵A、B、C成等差數列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，
由•=-得，c•acos=-，∴ac=3，①
又由余弦定理得b²=a²+c²-2accos，∴3=a²+c²-ac，∴a²+c²=6②
由①、②得，a+c=2．
（2）∴B=60°，∴A=120°-C，
2sin²A+sin²C=2-2cos2A+1-cos2C
=3-2cos（240°-2C）+cos2C
=3-2cos240°cos2C-2sin240°sin2C-cos2C
=3+sin2C
又0°＜A＜C，可得60°＜C＜120°，即120°＜2C＜240°，
∴-＜sin2C＜，＜（3+sin2C）＜，
即2sin²A+sin²C的取值范圍是（，）．
點評：本題主要考查余弦定理和二倍角公式的應用．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點問題，每年必考要重視．