Question

已知函數，．

（1）若，判斷函數是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；

（2）設函數，若至少存在一個，使得成立，求實數a的取值范圍；

（3）求函數的單調區間．

 

Answer 1

（1）函數不存在極值；（2）；（3）當時，的單調減區間為（0，+）；

當時，的單調增區間為與；

單調減區間為；

當時，的單調增區間為（0，+）.

【解析】

試題分析：

（1）利用求極值的方法，先求導，再判斷函數f（x）單調性，然后判斷是否存在極值；

（2）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x），

F（x）min=F（1）=0，從而求得a的取值范圍．

（3）求含有參數的f（x）的單調區間，需要分類討論；

試題解析：（1）當時，，其定義域為（0，+?）.

因為， 1分

所以在（0，+）上單調遞增， 2分

所以函數不存在極值. 3分

（2）由存在一個，使得成立，

等價于，即成立 4分

令，等價于“當時，”. 5分

因為，且當時，，

所以在上單調遞增， 7分

故，因此. 8分

（3）函數的定義域為．

9分

當時，

因為在（0，+?）上恒成立，所以在（0，+）上單調遞減. 10分

當時，

當時，方程與方程有相同的實根.

①當時，?>0，可得，，且 11分

因為時，，所以在上單調遞增；

因為時，，所以在上單調遞減；

因為時，，所以在上單調遞增； 12分

②當時，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上單調遞增.

13分

綜上所述，當時，的單調減區間為（0，+）；

當時，的單調增區間為與；

單調減區間為；

當時，的單調增區間為（0，+）. 14分

考點：1．利用導數研究函數的單調性；２．利用導數研究函數的極值．