Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f（m+n）=f（m）+f（n）-2對任意m、n∈R恒成立，當x＞0時，f（x）＞2．
（Ⅰ） 求證f（x）在R上是單調遞增函數；
（Ⅱ）已知f（1）=5，解關于t的不等式f（|t²-t|）≤8；
（Ⅲ）若f（-2）=-4，且不等式f（t²+at-a）≥-7對任意t∈[-2，2]恒成立．求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）結合已知先構造x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＞2，利用函數的單調性的定義作差f（x₁）-f（x₂）變形可證明
（Ⅱ）由f（1），及f（2）=f（1）+f（1）-2可求f（2），然后結合（I）中的函數的單調性可把已知不等式進行轉化，解二次不等式即可
（Ⅲ）由f（-2）及已知可求f（-1），進而可求f（-3），由已知不等式及函數的單調性可轉化原不等式，結合恒成立與最值求解的相互轉化即可求解
解答：證明：（Ⅰ）?x₁，x₂∈R，當x₁＜x₂時，x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞2f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）
=f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+2
=2-f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上是單調遞增函數…（4分）
（Ⅱ）∵f（1）=5，
∴f（2）=f（1）+f（1）-2=8，
由f（|t²-t|）≤8得f（|t²-t|）≤f（2）
∵f（x）在R上是單調遞增函數，所以…（8分）
（Ⅲ）由f（-2）=-4得-4=f（-2）=f（-1）+f（-1）-2⇒f（-1）=-1
所以f（-3）=f（-2）+f（-1）=-4-1-2=-7，
由f（t²+at-a）≥-7得f（t²+at-a）≥f（-3）
∵f（x）在R上是單調遞增函數，
所以t²+at-a≥-3⇒t²+at-a+3≥0對任意t∈[-2，2]恒成立．
記g（t）=t²+at-a+3（-2≤t≤2）
只需g_min（t）≥0．對稱軸
（1）當時，與a≥4矛盾．
此時a∈ϕ
（2）當時，，
又-4＜a＜4，所以-4＜a≤2
（3）當時，g_min（t）=g（2）=4+2a-a+3≥0⇒a≥-7
又a≤-4
∴-7≤a≤-4
綜合上述得：a∈[-7，2]…（14分）
點評：本題主要考查了賦值法在抽象函數的函數值的求解中的應用，抽象函數的單調性的證明及函數的恒成立問題的應用，具有很強的綜合性