Question

【題目】某工廠生產某種水杯，每個水杯的原材料費、加工費分別為30元、m元(m為常數，且2≤m≤3)，設每個水杯的出廠價為x元(35≤x≤41)，根據市場調查，水杯的日銷售量與ex(e為自然對數的底數)成反比例，已知每個水杯的出廠價為40元時，日銷售量為10個．

(1)求該工廠的日利潤y(元)與每個水杯的出廠價x(元)的函數關系式；

(2)當每個水杯的出廠價為多少元時，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x＝35時，日利潤取得最大值，且最大值為10e5(5－m)元.

【解析】試題分析：（1）先確定反比例系數，再根據利潤等于收入減去成本列函數關系式（2）利用導數求函數最值：先求導數，再根據范圍確定導函數符號，確定函數單調性，最后根據單調性求函數最值

試題解析：解：(1)設日銷售量為s，則s＝，

因為x＝40時，s＝10，

故10＝，則k＝10e40，

所以s＝，

故y＝ (x－30－m)(35≤x≤41)．

(2)由(1)知y′＝10e40·＝10e40·.

令y′＝10e40·＝0，則x＝31＋m.

當2≤m≤3時，y′<0，所以y在35≤x≤41上為減函數，

所以x＝35時，日利潤取得最大值，且最大值為10e5(5－m)元．