Question

【題目】已知數列{an}滿足a1= ，an= （n≥2，n∈N）．
（1）試判斷數列 是否為等比數列，并說明理由；
（2）設bn= ，求數列{bn}的前n項和Sn；
（3）設cn=ansin ，數列{cn}的前n項和為Tn ． 求證：對任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴數列 是首項為3，公比為﹣2的等比數列．

（2）解：依（1）的結論有 ，

即 ．

bn=（32n﹣1+1）2=94n﹣1+62n﹣1+1．

．

（3）解：∵ ，

∴ ．

當n≥3時，

則 ＜

= ．

∵T1＜T2＜T3，

∴對任意的n∈N*， ．

【解析】（1）根據題意，對 進行變形可得 ，從而證得結論；（2）根據（1）求出數列an ， 從而求得bn ， 利用分組求和法即可求得結果；（3）首先確定出數列{cn}的通項公式，利用放縮的思想將數列的每一項進行放縮，轉化為特殊數列的求和問題達到證明不等式的目的．
【考點精析】關于本題考查的等比關系的確定和數列的前n項和，需要了解等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．