Question

10．已知F₁，F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點，若∠F₁PQ=45°，|PQ|=$\sqrt{2}|P{F_1}|$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 在△F₁PQ中，由余弦定理可知丨QF₁丨²=丨PF₁丨²+丨PQ丨²-2丨QF丨•丨PQ丨cos45°，求得丨PF₁丨=丨QF₁丨，可知△PF₁Q為直角三角形，即可求得橢圓的通徑丨PQ丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，由丨PF₂丨=丨F₁F₂丨，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，求得a²-c²=2ac，由e=$\frac{c}{a}$，e²+2e-1=0根據橢圓離心率的取值范圍，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：根據余弦定理，可知丨QF₁丨²=丨PF₁丨²+丨PQ丨²-2丨QF丨•丨PQ丨cos45°，
由|PQ|=$\sqrt{2}|P{F_1}|$，
解得：丨PF₁丨=丨QF₁丨，
∵∠F₁PQ=45°，
∴△PF₁Q為直角三角形，
∴線段PQ為橢圓的通徑，即丨PQ丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴丨PF₂丨=$\frac{1}{2}$•丨PQ丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
△PF₁F₂中，丨PF₂丨=丨F₁F₂丨，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，
∴a²-c²=2ac，
∴1-（$\frac{c}{a}$）²=$\frac{2c}{a}$，由e=$\frac{c}{a}$，即e²+2e-1=0
解得：e=$\sqrt{2}$-1或e=-$\sqrt{2}$-1（舍去）．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的性質，考查余弦定理及直角三角形的性質，考查橢圓通經公式及離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．