Question

若函數f（x）同時具有以下兩個性質：①f（x）是偶函數；②對任意實數x，都有f（）=f（），則下列函數中，符合上述條件的有 ________．（填序號）
①f（x）=cos4x；②f（x）=sin（2x）；
③f（x）=sin（4x）；④f（x）=cos（4x）．

Answer 1

①③
分析：根據條件先判斷函數的一條對稱軸是，再利用誘導公式對選項中解析式進行化簡，根據正弦（余弦）函數的奇偶性和對稱軸方程進行逐一判斷．
解答：由題意知，函數的一條對稱軸是x=，
①、f（x）=cos4x是偶函數，把x=代入得，4x=π，則是函數的對稱軸，故①符合條件；
②、f（x）=sin（2x）=cos2x是偶函數，把代入得，2x=，則不是函數的對稱軸，故②不符合題意；
③、f（x）=sin（4x）=cos4x，同①分析，故③符合題意；
④、f（x）=cos（4x）=-sin4x是奇函數，故④不符合題意．
故答案為：①③．
點評：本題考查了正弦（余弦）函數的奇偶性和對稱性的應用，需要先通過誘導公式進行化簡，考查了分析問題和解決問題的能力．