Question

已知函數，且此函數圖象過點（1，5）．
（1）求實數m的值并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，2）上的單調性，并用定義證明你的結論．
（3）解關于實數x的不等式．

Answer 1

解：（1）把（1，5）代入函數f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4
∴
∵=-f（x）
∴f（x）是奇函數；
（2）函數在（0，2）上單調減，證明如下：
取0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+）-（x₁+）=（x₂-x₁）+4（）=（x₂-x₁）（1-）
因為0＜x₁＜x₂＜2，所以x₁x₂＜4，∴1-＜0，x₂-x₁＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數在（0，2）上單調減
（3）不等式，等價于f（1），由（2）知
∴2-2^x＞1
∴2^x＜1
∴x＜0
∴不等式的解集為（-∞，0）
分析：（1）把（1，5）代入函數f（x），可求得m=4，利用奇偶性的定義，即可得到結論；
（2）函數在（0，2）上單調減，利用單調性的定義證明，取值，作差，變形，定號下結論；
（3）不等式，等價于f（1），由（2）知，從而可得不等式的解集．
點評：本題考查函數的解析式，考查函數的奇偶性與單調性，考查解不等式，正確運用定義是關鍵．