Question

營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供75g碳水化合物，60g的蛋白質，60g的脂肪.1000g食物A含有105g碳水化合物，70g蛋白質，140g脂肪，花費28元；而1000g食物B含有105g碳水化合物，140g蛋白質，70g脂肪，花費21元．為了滿足營養專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少g？花費多少錢？

Answer 1

分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．

解答：解：設每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z．那么

0.105x+0.105y≥0.075 0.07x+0.14y≥0.06 0.14x+0.07y≥0.06 x≥0 y≥0

目標函數為z=28x+21y
二元一次不等式組①等價于

7x+7y≥5 7x+14y≥6 14x+7y≥6 x≥0 y≥0

，
作出二元一次不等式組②所表示的平面區域，即可行域．
考慮z=28x+21y，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數z=28x+21y取得最小值．
由3.3-11可見，當直線z=28x+21y經過可行域上的點M時，截距最小，即z最小．
解方程組

7x+7y=5 14x+7y=6

得M的坐標為x=

1

7

，y=

4

7

，
所以z_minz=28x+21y=16．
答：每天食用食物A約143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．