Question

人們生活水平的提高，越來(lái)越注重科學(xué)飲食．營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元．為了滿(mǎn)足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，每天需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？最低花費(fèi)是多少？

Answer 1

分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問(wèn)題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫(huà)可行域，再利用圖形直線求得滿(mǎn)足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答：解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總花費(fèi)為z元，那么
則目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y，且x，y滿(mǎn)足約束條件

0.105x+0.105y≥0.075 0.07x+0.14y≥0.06 0.14x+0.07y≥0.06 x≥0，y≥0

，…（3分）
整理

7x+7y≥5 7x+14y≥6 14x+7y≥6 x≥0，y≥0

，…（5分）
作出約束條件所表示的可行域，
如右圖所示．…（7分）
將目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y變形．
y=

4

3

x+

z

21

．如圖，作直線28x+21y=0，當(dāng)直線平移經(jīng)過(guò)可行域，在過(guò)點(diǎn)M處時(shí)，y軸上截距

z

21

最小，即此時(shí)z有最小值．…（9分）
解方程組

7x+7y=5 14x+7y=6

，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

1

7

，

4

7

)．…（11分）
∴每天需要同時(shí)食用食物A約

1

7

kg，食物B約

4

7

kg．…（12分）
能夠滿(mǎn)足日常飲食要求，且花費(fèi)最低16元．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類(lèi)、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．