Question

△ABC中，三內角A，B，C成等差數列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面積；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

Answer 1

分析：由三內角成都城數列，利用等差數列的性質求出B的度數，
（1）利用余弦定理表示出b2，配方后把b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后由ac的值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出此三角形的面積；
（2）把所求的式子先利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由A的范圍求出此角的范圍，進而根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答：解：因為A，B，C成等差數列，所以B=60°，
（1）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40，（5分）
所以△ABC的面積S=

1

2

acsinB=10

3

；（7分）
（2）

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)（11分）
又由題可知A∈（0，

2π

3

），
所以A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]．（14分）

點評：此題綜合考查了等差數列的性質，余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數的值域以及三角函數的恒等變換，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．