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在△ABC中,三內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a,b,c成等比數列,acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB,
BA
BC
=6
,求sinB及△ABC的面積.
分析:由a,b及c成等比數列,根據等比數列的性質列出關系式,可得出b不是最大邊,然后利用正弦定理化簡已知的等式,左邊再利用兩角和與差的正弦函數公式化簡,根據sinB不為0,等式兩邊同時除以sinB,可得出sinB的值,由b不是最大邊,可得出B不為最大角,即B為銳角,利用同角三角函數間的基本關系求出cosB的值,利用平面向量的數量積運算法則化簡
BA
BC
=6,將cosB的值代入求出ca的值,再由ca,以及sinB的值,利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:由a,b,c成等比數列,得到b2=ac,即b不是最大邊,
∵acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB,
∴sinAcosC+cosAsinC=
4
7
7
sin2B,即sin(A+C)=
4
7
7
sin2B,
∴sinB=
4
7
7
sin2B,
∵sinB≠0,∴sinB=
7
4

∵b不是最大邊,∴B為銳角,
∴cosB=
1-sin2B
=
3
4

BA
BC
=cacosB=6,
∴ca=8,
則S△ABC=
1
2
casinB=
7
點評:此題考查了正弦定理,等比數列的性質,兩角和與差的正弦函數公式,平面向量的數量積運算法則,以及三角形的面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
sin2ω+2cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期為2π.
(1)當x∈R時,求f(x)的值域;
(2)在△ABC中,三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知f(A)=1,a=2
7
,sinB=2sinC,求△ABC的面積S.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,三內角A,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足(2b-c)cosA=acosC
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若|
AC
-
AB
|=1,求△ABC周長l的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sin(
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)

(I)求函數f(x)的周期及單調遞增區間;
(II)在△ABC中,三內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知點(A,
1
2
)
經過函數f(x)的圖象,b,a,c成等差數列,且
AB
AC
=9
,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,三內角A、B、C所對應的邊長分別為a、b、c,且A、B、C成等差數列,b=
3
,則△ABC的外接圓半徑為 (  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,設向量
m
=(b-c,c-a)
n
=(b, c+a)
,若向量
m
n
,則角A的大小為(  )
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
3

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