Question

已知圓C:x²+y²+2x-4y+3=0.

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;

(2)從圓C外一點P(x₁,y₁)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點P的坐標.

Answer 1

解：(1)∵切線在兩坐標軸上的截距相等,

∴當截距不為零時,設切線方程為x+y=a.

又∵圓C:(x+1)²+(y-2)²=2,

∴圓心C(-1,2)到切線的距離等于圓半徑,

即=a=-1或a=3.

當截距為零時,設y=kx,同理可得k=2+或k=2-.

故所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+)x或y=(2-)x.

(2)∵切線PM與半徑CM垂直,

∴|PM|²=|PC|²-|CM|².

∴(x₁+1)²+(y₁-2)²-2=x₁²+y₁².

∴2x₁-4y₁+3=0.

∴動點P的軌跡是直線2x-4y+3=0.

∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.

而|PO|的最小值為點O到直線2x-4y+3=0的距離d=.

∴由

可得

故所求點的坐標為P(-,).