Question

（08年華師一附中二次壓軸）已知f(x)是定義在R上的不恒為0的函數，且對任意的a，b∈R，恒有f(ab)=af(b)+bf(a).

(Ⅰ)求f(0)，f(1)的值；

(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性，并證明你的結論；

(Ⅲ)若f(2)=2，，n∈N^*，求數列{u_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解析：(Ⅰ)解:f(0)=f(0×0)=0?f(0)+0?f(0)=0.

又∵f(1)=f(1×1)=1?f(1)+1?f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.

(Ⅱ)∵f(1)=f[(－1)²]=－1?f(－1)－1?f(－1)=－2f(－1)=0，

∴f(－1)=0

∴f(－x)=f(－1?x)=－1?f(x)+x?f(－1)=－f(x)，

∴f(x)為奇函數

(Ⅲ)解法一：∵0=f(1)=f(2×2^－1)=2f(2^－1)+2^{－1f(2)=2 f(2－1})+1，∴f(2^－1)=－………9分

又f(2^－n)=f(2^－n－1?2)= 2^{－n－1f(2)+2f(2－n－1})= 2^－n+2f(2^－n－1)

∴2^{n+1f(2－n－1})－2ⁿf(2^－n)=－1

∴數列{2ⁿf(2^－n)}是以2f(2^－1)=－1為首項，以－1為公差的等差數列

∴2ⁿf(2^－n)=－1+（n－1）?(－1)=－n

∴u_n==－

∴S_n==－1

解法二：∵f(2ⁿ⁺¹)=f(2ⁿ?2)= 2ⁿf(2)+2f(2ⁿ)= 2ⁿ⁺¹+2f(2ⁿ)

∴=1+，∴－=1

∴數列{}是以=1為首項，以1為公差的等差數列

∴=1+（n－1）?1=n，∴f(2ⁿ)= 2ⁿ?n

又∵f(1)=f(2ⁿ×2^－n)=2ⁿf(2^－n)+2^－nf(2ⁿ)=0

∴u_n===－

∴S_n==－1

解法三：由f(a²)=af(a)+af(a)=2af(a)，f(a³)=a²f(a)+af (a²)=3a²f(a)，猜測f(aⁿ)=na^n－1f(a).

下面用數學歸納法證明

①當n=1時，f(a¹)=1?a⁰?f(a)，公式成立；

②假設當n=k時公式成立，即f(a^k)=ka^k－1f(a)，那么當n=k+1時，f(a^k+1)=a^kf(a)+af(a^k)=a^kf(a)=(k+1)a^kf(a)，公式仍成立.

由①②可知，對任意n∈N，f(aⁿ)=na^n－1f(a)成立

∴u_n==f()

又f(1)==f（2?）=2f()+f(2)= 2f()+1=0，∴f()=－ 

∴u_n=－

∴S_n==－1

解法四：當ab≠0時，=+，令g(x)=，則g(ab)=g(a)+g(b).

∴g(aⁿ)=ng(a)，所以f(aⁿ)=aⁿ?g(aⁿ)=naⁿg(a)=na^n－1f(a).

以下同解法三