Question

（08年華師一附中二次壓軸文）已知函數f(x)＝ax³－cx，x∈[－1，1]。

（1）若a＝4，c＝3，求證：對任意x∈[－1，1]，恒有|f(x)|≤1；

（2）若對任意x∈[－1，1]，恒有|f(x)|≤1，求證：|a|≤4。

 

Answer 1

解析:（1）由a＝4，c＝3，得f(x)＝4x³－3x。

于是，令，可得

所以當－1<x<－時，

所以函數f(x)的增區間為，減區間為 

又 

故對任意x∈[－1，1]，恒有－1≤f(x)≤1

即對任意x∈[－1，1]，恒有|f(x)|≤1。

（2）由f(x)＝ax³－cx可得，

因此，由

又對任意x∈，恒有|f(x)|≤1，所以||≤4，可得|a|≤4