Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據線面垂直的判定定理和性質定理，可證PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，P的坐標，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．
解答：（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，則
A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）．
=（-1，，0），=（0，，-1），=（-1，0，0），
設平面PAB的法向量為=（x，y，z），則
即，
因此可取=（，1，）
設平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，
即：
可取=（0，1，），cos＜＞==-，
故二面角A-PB-C的余弦值為：-．
點評：此題是個中檔題．考查線面垂直的性質定理和判定定理，以及應用空間向量求空間角問題，查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題能力．