Question

設m∈R，過定點A的動直線l₁：x+my=0和過定點B的動直線l₂：mx-y-m+3=0=0交于點P（x，y），
（I） 試判斷直線l₁與l₂的位置關系；  
（Ⅱ） 求|PA|•|PB|的最大值．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式,直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：直線與圓

分析：（I）對m分類討論，利用兩條直線相互垂直與斜率的關系即可得出；
（II）當m=0時，直接求出；當m≠0時，點P在以AB為直徑的圓上，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（ I）當m=0時，兩條直線方程分別化為：x=0，-y+3=0，此時兩條直線垂直；
當m≠0時，兩條直線的斜率分別為：-

1

m

，m，則-

1

m

×m=-1，因此兩條直線垂直．
故直線l₁與l₂垂直；
（ II）由直線l₁：x+my=0可得定點A（0，0）；
由直線l₂：mx-y-m+3=0=0化為m（x-1）+（3-y）=0，聯立

x-1=0 3-y=0

，解得x=1，y=3．
可得定點B（1，3）．
當m=0時，兩條直線的交點為（0，3），則|PA|•|PB|=

0+32

×

12+0

=3．
當m≠0時，點P在以AB為直徑的圓上，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
∴10≥2|PA|•|PB|，
∴|PA|•|PB|≤5．
綜上可得：|PA|•|PB|的最大值為5．

點評：本題考查了兩條直線相互垂直與斜率的關系、圓的性質、基本不等式的性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．