Question

【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合，且過點.過點的直線交橢圓于， 兩點， 為橢圓的左頂點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)求面積的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線l的方程為x＝1.

【解析】試題分析：(1)利用橢圓和拋物線有一個公共焦點和點在橢圓上進行求解；(2) 聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，再利用根與系數的關系、弦長公式和基本不等式進行求解.

試題解析：(1)因為拋物線y2＝4x的焦點為(，0)，所以橢圓C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.　①

把點Q代入＋＝1，得＋＝1.�、�

由①②解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.

(2)設直線l的方程為x＝ty＋1，代入＋y2＝1，

得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有y1＋y2＝－，y1y2＝－.

則|y1－y2|＝＝＝＝＝.令＝m(m≥)．易知函數y＝m＋在[，＋∞)上單調遞增，

則＋≥＋＝，當且僅當m＝，即t＝0時，取等號．

所以|y1－y2|≤.所以△AMN的面積S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，

所以Smax＝，此時直線l的方程為x＝1.