Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，.

（1）證明：；

（2）設是線段上的動點，是否存在這樣的點，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）長為1.

【解析】試題分析：（1）連結，，則由余弦定理可知，根據直棱柱的性質，先由面面垂直證明線面垂直，再得到線線垂直，根據線面垂直的判定定理可得到平面，進而可得結果；（2）以為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標系，分別根據向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式列方程，從而可得結果.

試題解析：（1）連結，，則由余弦定理可知，

由直棱柱可知，

（2）以為原點，以方向為軸，以方向為軸，以方向為軸，建立坐標系.

（），，，

，，

，，

，又，則，故長為1.