Question

已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程代入已知條件得，求出b，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，代入得，再點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合直線的位置關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）由題意，c=1，
可設(shè)橢圓方程為，
解得b²=3，（舍去）
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，
代入得
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
在上式中以-K代K，可得，
所以直線EF的斜率
即直線EF的斜率為定值，其值為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．