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已知,橢圓C過點A(1,
32
)
,兩個焦點為(-1,0),(1,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.
分析:(Ⅰ)由題意,c=1,可設橢圓方程代入已知條件得
1
1+b2
+
9
4b2
=1
,求出b,由此能夠求出橢圓方程.
(Ⅱ)設直線AE方程為:y=k(x-1)+
3
2
,代入
x2
4
+
y2
3
=1
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(
3
2
-k)2-12=0
,再點A(1,
3
2
)
在橢圓上,結合直線的位置關系進行求解.
解答:解:(Ⅰ)由題意,c=1,
可設橢圓方程為
1
1+b2
+
9
4b2
=1

解得b2=3,b2=-
3
4
(舍去)
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)設直線AE方程為:y=k(x-1)+
3
2
,
代入
x2
4
+
y2
3
=1
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(
3
2
-k)2-12=0

設E(xE,yE),F(xF,yF),
因為點A(1,
3
2
)
在橢圓上,
所以xE=
4(
3
2
-k)
2
-12
3+4k2
,yE=kxE+
3
2
-k

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數,
在上式中以-K代K,可得xF=
4(
3
2
+k)
2
-12
3+4k2
yF=-kxF+
3
2
+k

所以直線EF的斜率KEF=
yF-yE
xF-xE
=
-k(xF+xE)+2k
xF-xE
=
1
2

即直線EF的斜率為定值,其值為
1
2
點評:本題綜合考查直線與橢圓的位置關系,解題時要認真審題,仔細解答,避免出錯.
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已知,橢圓C過點A,兩個焦點為(-1,0),(1,0)。

(1)       求橢圓C的方程;        

(2)       E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值。

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(1)       求橢圓C的方程;

(2)       E,F是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值。

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(1)求橢圓C的方程;
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