Question

設數列{a_n}前n項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為實常數，m≠-3且m≠0．
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且，求{b_n}的通項公式；
（3）若m=1時，設T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整數k，使得對任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，由此能夠證明{a_n}是等比數列．
（2）由，知n≥2時，，所以是以1為首項，為公差的等差數列，由此能求出．
（3）由，知，由此能求出k的最大值．
解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，
得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n（m≠-3），
∴，
∵m是常數，且m≠-3，m≠0，
故為不為0的常數，
∴{a_n}是等比數列．
（2）由，
且n≥2時，，
得，
∴是以1為首項，為公差的等差數列，
∴，
故．
（3）由已知，
∴
相減得：，
∴，
，
T_n遞增，
∴，
∵對n∈N^*均成立，
∴，
又k∈N^*，∴k最大值為7．
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，合理地運用錯位相減法進行證明．注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．