Question

設數列{a_n}前n項和S_n，且S_n=2a_n-2，n∈N₊．
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

n

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，當n=1時，S₁=2a₁-2，可求a₁，結合等比數列的通項公式可求
（II）由（I）知，cn=

n

an

=

n

2n

，利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
所以，a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，…（3分）
當n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，…（4分）
由等比數列的定義知，數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
所以，數列{a_n}的通項公式為an=2×2n-1=2n，n∈N+．…（6分）
（II）由（I）知，cn=

n

an

=

n

2n

（8分）
∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減可得，

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，等比數列的通項公式及錯位相減求和方法的應用