Question

已知{e₁，e₂，e₃}為空間的一個基底，且，，，．
（1）判斷P，A，B，C四點是否共面；
（2）能否以作為空間的一個基底？若不能，說明理由；若能，試以這一基底表示向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設假設四點共面，則存在實數x，y，z使，且x+y+z=1，
把各向量的坐標代入，解出的x、y、z值看是否滿足x+y+z=1．
（2）任何三個不共面的向量構成空間向量的一個基底，用反證法證明向量，，共面不可能，
因此可以作為空間的一個基底，待定系數法求．
解答：解：（1）假設四點共面，則存在實數x，y，z使，
且x+y+z=1，
即2e₁-e₂+3e₃=x（e₁+2e₂-e₃）+y（-3e₁+e₂+2e₃）+z（e₁+e₂-e₃）．（4分）
比較對應的系數，得一關于x，y，z的方程組
解得
與x+y+z=1矛盾，故四點不共面；（6分）
（2）若向量，，共面，則存在實數m，n使，
同（1）可證，這不可能，
因此可以作為空間的一個基底，
令，，，
由e₁+2e₂-e₃=a，-3e₁+e₂+2e₃=b，e₁+e₂-e₃=c聯立得到方程組，
從中解得（10分）
所以．（12分）
點評：本題考查向量共面的條件，使用了反證法，及用待定系數法表示空間向量．