Question

【題目】一只蒼蠅和只蜘蛛被放置在方格表的一些交點處.一次操作包括以下步驟：首先，蒼蠅移動到相鄰的交點處或者原地不動，然后，每只蜘蛛移動到相鄰交點處或者原地不動（同一交點可以同時停留多只蜘蛛）.假設每只蜘蛛和蒼蠅總是知道其他蜘蛛和蒼蠅的位置.

（1）找出最小的正整數，使得在有限次操作內，蜘蛛能夠抓住蒼蠅，且與其初始位置無關；

（2）在的空間三維方格中，（1）中的結論又是怎樣？

（注）題中相鄰是指一個交點僅有一個坐標與另一個交點的同一坐標不同，且差值為1；題中抓住是指蜘蛛和蒼蠅位于同一交點.

Answer 1

【答案】（1）2 （2）見解析

【解析】

（1）首先證明，一只蜘蛛無法捉到蒼蠅.

建立直角坐標系，則蜘蛛、蒼蠅活動的范圍是.

對于上述集合中的每個點，至少存在兩個集合中的點和它相鄰.因此，若某次蜘蛛行動之后與蒼蠅不相鄰，則蒼蠅不動即可；若某次蜘蛛行動后與蒼蠅相鄰，則它只需進入與其所在點相鄰的另一個上述集合中的點.這樣蜘蛛捉不到蒼蠅.

其次，若有兩只蜘蛛、，記與蒼蠅在次移動后的距離為，其中，定義兩點與的距離為.

首先，可以通過若干次操作使得.

接下來證明：

（ⅰ）每次移動后，可適當移動、，使得處于以、為對角線的矩形內部或邊界上（、的連線不平行于坐標軸）；

（ⅱ）保持不增，且若干次后必嚴格減少.

事實上，記、軸正方向的單位向量為、.則策略如下：

若某次蒼蠅移動后某坐標值不在以、為對角線的矩形內部或者邊界上，則、同時沿該方向朝所在的方格移動；否則，只要移動或，只要移動或，適當選擇使、的連線不平行于坐標軸，且保持蒼蠅的位置位于上述矩形的內部或邊界上.由歸納法易證（ⅰ）.

下面證明（ⅱ）.

事實上，若在次操作前嚴格位于以、為對角線的矩形內，則該輪次后，必減；否則，必在矩形的某邊上且它必須向矩形外移動，由規則知此時不增，但方格表有界，因此，至多在4024步以后不能再向矩形外移動.此時，嚴格減少.

因為的初始值為4024，不能無限下降，所以，經過有限步操作后蜘蛛能夠抓到蒼蠅.

（2）結論不變，的最小值仍為2.

建立空間直角坐標系，則、的范圍是.

當時，令、通過若干次操作分別到與，且每次操作保持在以、為體對角線的立方體內部或邊界（面、棱、頂點）上，且、的連線不平行于平面、、.完全類似可證：每次操作后不增，且至多經過步后，必定嚴格減少.

而初始的，故經過有限步也必定結束操作，蜘蛛抓住蒼蠅.