Question

不等式f（x）=

2+x x-1

的定義域為集合A，關于x的不等式(

1

2

)2x＞2^-a-x，（a∈R）的解集為B，求使A∩B=B的實數a取值范圍．

Answer 1

分析：由

2+x

x-1

≥0可解得A=（-∞，-2]∪（1，+∞），再將“(

1

2

)2x＞2-a-x”轉化為“(

1

2

)2x＞(

1

2

)a+x”利用指數函數的單調性可得x＜a從而有B=（-∞，a），最后由A∩B=B等價于B⊆A求解．

解答：解：由

2+x

x-1

≥0解得x≤-2或x＞1
于是A=（-∞，-2]∪（1，+∞）．
(

1

2

)2x＞2-a-x?(

1

2

)2x＞(

1

2

)a+x?2x＜a+x?x＜a．
所以B=（-∞，a）．
因為A∩B=B，
所以B⊆A，
所以a≤-2，即a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評：本題主要考查函數的定義域的求法及利用函數的單調性解不等式和集合間的運算．