Question

已知雙曲線的兩個焦點為
的曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q （0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得a²+b²=4，得到a和b的關系，把點（3，）代入雙曲線方程，求得a，進而根據a²+b²=4求得b，雙曲線方程可得．
（2）可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，根據直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，進而可得k的范圍，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根據韋達定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出|EF|和原點O到直線l的距離根據三角形OEF的面積求得k，進而可得直線方程．
解答：解：（Ⅰ）：依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4），
將點（3，）代入上式，得．解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求雙曲線方程為．
（Ⅱ）：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，
∴
∴k∈（-）∪（1，）．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則由①式得x₁+x₂=，
于是，|EF|=
=
而原點O到直線l的距離d=，
∴S_△OEF=．
若S_△OEF=，即，解得k=±，
滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和．
點評：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關系．考查了學生綜合運算能力．