Question

【題目】已知a＞0，函數f（x）= +|lnx﹣a|，x∈[1，e2]．
（1）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）若f（x）≤ 恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=3時，f（x）= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3，x∈[1，e2]；

故f（3）=1﹣ln3+3=4﹣ln3，

f′（x）=﹣ ﹣ ，f′（3）=﹣ ﹣ =﹣ ；

故曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為y﹣（4﹣ln3）=﹣ （x﹣3），

即2x+3y﹣18+3ln3=0

（2）解：由題意得， +|lnx﹣a|≤ ，

當a≥2時，上式可化為 ﹣lnx+a≤ 恒成立，

且 ﹣lnx+a在[1，e2]上是減函數，

故只需使a+a≤ ，無解；

當0＜a＜2時，

f（x）= ，

故f（x）在[1，ea]上是減函數，在[ea，e2]上是增函數，

故只需使 ；

解得 ≤a≤

【解析】（1）當a=3時，化簡f（x）= +|lnx﹣3|= ﹣lnx+3，x∈[1，e2]；從而求導，再求切線方程；（2）由題意得， +|lnx﹣a|≤ ，分a≥2與0＜a＜2討論求函數的最值，從而化恒成立問題為最值問題即可．
【考點精析】通過靈活運用函數的最大(小)值與導數，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．