Question

【題目】已知函數f（x）= sin（ωx﹣ ）+b（ω＞0），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為 ，當x∈[0， ]時，f（x）的最大值為1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移 個單位長度得到函數g（x）圖象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， ]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= sin（ωx﹣ ）+b（ω＞0），且函數圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為 ，

∴ = ，可得：T=π，由 =π，可得：ω=2，

∴f（x）= sin（2x﹣ ）+b，

∵當x∈[0， ]時，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴由于y=sinx在[﹣ ， ]上單調遞增，可得當2x﹣ = ，即x= 時，函數f（x）取得最大值f（ ）= sin +b，

∴ sin +b=1，解得b=﹣ ，

∴f（x）= sin（2x﹣ ）﹣

（2）解：將函數f（x）的圖象向右平移 個單位長度得到函數解析式為：g（x）= sin[2（x﹣ ）﹣ ]﹣ = sin（2x﹣ ）﹣ ，

∵當x∈[0， ]時，可得：2x﹣ ∈[﹣ ， ]，g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ∈[﹣2，1]，

∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，

∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0， ]上恒成立，

∴m∈[﹣5，4]．

【解析】（1）由題意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）= sin（2x﹣ ）+b，結合范圍2x﹣ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函數的有界性解得b的值，從而可求函數f（x）的解析式．（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ，結合范圍2x﹣ ∈[﹣ ， ]，可求范圍g（x）= sin（2x﹣ ）﹣ ∈[﹣2，1]，結合已知可求m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象即可以解答此題．